Вы знали про «Санкт-Петербургский парадокс» в математике? Теперь он есть и в физике океана! Объясняем, что это

В 1730 математики сформулировали «Санкт-Петербургский парадокс», иллюстрирующий расхождение ожидания выигрыша с его реальной оценкой в игре. А в 2022 году американские физики описали «Санкт-Петербургскую модель», касающуюся океанских «волн-убийц» и описываемую схожей с парадоксом математикой.

«Бумага» рассказывает о «Санкт-Петербургских» парадоксе и модели — и о том, откуда у них такие названия.

«Санкт-Петербургский парадокс» в математике

В 1738 году в «Заметках Императорской Петербургской Академии наук» опубликовали работу Даниила Бернулли — швейцарского физика, механика и математика, прожившего около восьми лет в Петербурге. В своем труде ученый сформулировал математическую задачу, которая оставалась тогда нерешенной и которую позже, в 1768 году, французский математик Ж. д’Аламбер назвал «Санкт-Петербургской» (из-за публикации в петербургском журнале).

Задача Бернулли
(в описании доктора экономических наук, доцента СПбГУ Андрей Кудрявцева)

— Рассматривается игра, состоящая в последовательном бросании монеты до тех пор, пока выпадет «решка» (сторона с номиналом монеты). Если «орел» (герб) выпадет при первом броске, то выигрыш составит 1 ден. ед. (дукат, экю и т. д.), при втором — 2 ден. ед., при третьем — 4 ден. ед. и т. д. Вопрос состоит в том, какую сумму следует заплатить за участие в игре.

Слово «парадокс» в названии задачи появилось, потому что значение, которое требовалось найти, равно бесконечному математическому ожиданию. А «готовность внести бесконечно большую сумму за участие в азартной игре справедливо казалось неразумным», отмечает доцент СПбГУ Андрей Кудрявцев.

Многие математики предлагали свои решения этой задачи, это подробно описывает в том числе Кудрявцев. В 20 веке «Санкт-Петербургский парадокс» сыграл важную (но косвенную) роль в развитии экономической теории, а также в практике финансовых спекуляций, считает доцент.

«Санкт-Петербургская модель» в физике океана

В феврале 2022 года в журнале Physical Review E опубликовали исследование американских физиков, которые предложили новую модель, связывающую высоту «волн-убийц» с числом мелких волн, ее образующих. Эта волна получила название «Санкт-Петербургская» — как раз в честь одноименного математического парадокса, на основе которой и построена, отмечает N+1.

В своей работе физики заявили, что, чем сложнее условия протекания волнового процесса, тем больше вероятность столкнуться при этом с необычными нелинейными эффектами. Они рассмотрели это на примере редко появляющихся океанских волн высотой от 20 метров, обладающих нехарактерным поведением и приносящих большой ущерб судоходству (из-за чего их и называют «волнами-убийцами»).

Так, океанские волны в работе представлены суммами отдельных небольших вейвлетов — математических функций, позволяющих анализировать различные частотные компоненты данных. Физики сопоставили эти суммы подбрасыванию монеты, совпадение фаз — падению монеты одной и той же стороной, а выигрыш — высоте результирующей волны. В итоге они получили получили формулу, на основе которой создали категоризацию волн. Подробнее об этом можно прочесть здесь.